niedziela, 29 marca 2020

Prawo Betza
Średnia prędkość wiatru przechodzącego przez określoną powierzchnię wirnika jest średnią prędkości wiatru przed wirnikiem v1 (niezakłóconego) i prędkości wiatru po przejściu przez wirnik v2 czyli możemy zapisać ją wzorem (v1+v2)/2.

 

Masę powietrza jaka w czasie 1 sekundy przepływa przez obszar wirnika możemy obliczyć za pomocą wzoru:

m = rF(v1+v2)/2 

gdzie:
m - masa na sekundę;
r - gęstość powietrza;
F - powierzchnia jaką zakreśla wirnik;
(v1+v2)/2 - średnia prędkość wiatru przechodzącego przez wirnik.
II zasada dynamiki Newton'a pozwala obliczyć moc odbieraną od wiatru przez wirnik:

P = (1/2) m (v12 - v22)

Możemy w powyższym równaniu za masę m podstawić wzór rF(v1+v2)/2 z równania , w wyniku czego otrzymamy:

P = (r/4) (v12 - v22) (v1+v2) F

Oznaczmy przez Po całkowitą mocą niezakłóconego przepływu powietrza przez taką samą powierzchnię F:

Po = (r/2) v13 F

Możemy teraz porównać moc odbieraną od wiatru przez wirnik, do mocy jaką ma niezakłócony przepływ powietrza przez tą samą powierzchnię:

P/Po= ((r/4) (v12 - v22) (v1+v2) F)/( (r/2) v13 F)

Po przekształceniu możemy zapisać to wzorem:

(P/Po) = (1/2) (1 - (v2 / v1)2) (1 + (v2 / v1))

Wykres funkcji (P/Po) = f(v2 / v1) wygląda następująco:

 

Na wykresie maksimum równe jest 0,59 dla (v2 / v1) = 1/3. Oznacza to, że idealna turbina wiatrowa spowolni wiatr do 1/3 jego pierwotnej wartości i odzyska 59 % energii w nim zawartej.
Prawo Betz’a można też zapisać za pomocą wzoru:

Pmax=  16/27 ρ∙F∙V3

Gdzie:
Pmax – maksymalna moc odzyskana z energii wiatru
p - gęstość powietrza
F - powierzchnia jaką zakreśla wirnik
V – prędkość wiatru przed wirnikiem turbiny.

Wzór Betz’a określa ilość energii dla turbiny idealnej (59,3%), praktycznie wiatraki mogą odzyskać od 20-40% energii wiatru. Największy wpływ na ilość energii ma prędkość wiatru (V występuje w trzeciej potędze). Drugi czynnik zmieniający ilość energii to promień wiatraka (F – pole koła obliczone ze wzoru pi*r2) , dwukrotne zwiększenie promienia spowoduje 4-krotne zwiększenie ilości dostarczonej energii. Wykres poniżej pokazuje rozkład gęstości mocy elektrowni wiatrowej w zależności od prędkości wiatru (krzywa Moc teoretyczna do odzyskania jest wynikiem prawa Betz’a).



foto:
www.eoearth.org/article/Betz,_Albert

Albert Betz - pionier energetyki wiatrowej. Niemiecki fizyk, wykładowca na Uniwersytecie w Göttingen w zakresie zagadnień aerodynamiki, hydromechaniki i mechaniki płynów. W roku 1910 opublikował pracę naukową na temat teoretycznych granic najlepszego wykorzystania energii wiatru w silnikach wiatrowych. W roku 1926 opublikował książkę o wykorzystaniu energii wiatru w wiatrakach i młynach.


Albert Betz w trakcie prac badawczych w 1930 roku